Ensembles finis Exemples

$f (x) = - 7 {(x - 8)}^{2} - 3$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 8)}^{2}$ comme $(x - 8) (x - 8)$ .

$f (x) = - 7 ((x - 8) (x - 8)) - 3$

Étape 1.2

Développez $(x - 8) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - 7 (x (x - 8) - 8 (x - 8)) - 3$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - 7 (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)) - 3$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - 7 (x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) - 3$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = - 7 (x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) - 3$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$f (x) = - 7 (x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8) - 3$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$f (x) = - 7 (x^{2} - 8 x - 8 x + 64) - 3$

Étape 1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$f (x) = - 7 (x^{2} - 16 x + 64) - 3$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - 7 x^{2} - 7 (- 16 x) - 7 \cdot 64 - 3$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 16$ par $- 7$ .

$f (x) = - 7 x^{2} + 112 x - 7 \cdot 64 - 3$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 7$ par $64$ .

$f (x) = - 7 x^{2} + 112 x - 448 - 3$

Étape 2

Soustrayez $3$ de $- 448$ .

$f (x) = - 7 x^{2} + 112 x - 451$

Étape 3

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 4

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{112}{2 (- 7)}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{112}{2 (- 7)}$

Étape 4.3

Simplifiez $- \frac{112}{2 (- 7)}$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $112$ et $2$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $112$ .

$x = - \frac{2 \cdot 56}{2 \cdot - 7}$

Étape 4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 7$ .

$x = - \frac{2 \cdot 56}{2 (- 7)}$

Étape 4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot 56}{2 \cdot - 7}$

Étape 4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{56}{- 7}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun à $56$ et $- 7$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $7$ à partir de $56$ .

$x = - \frac{7 (8)}{- 7}$

Étape 4.3.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{8}{- 1}$ .

$x = - (- 1 \cdot 8)$

Étape 4.3.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 8)$ .

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$x = - - 8$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$x = 8$

Étape 5

Évaluez $f (8)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = - 7 {(8)}^{2} + 112 (8) - 451$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (8) = - 7 \cdot 64 + 112 (8) - 451$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $64$ .

$f (8) = - 448 + 112 (8) - 451$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $112$ par $8$ .

$f (8) = - 448 + 896 - 451$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 448$ et $896$ .

$f (8) = 448 - 451$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $451$ de $448$ .

$f (8) = - 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(8, - 3)$

Étape 7